[18-2학기]기하학및연습 - 이기영 교수님

강의평:
 

응용수리과학부 데이터계산과학전공에서 전공필수과목은 2학년 2학기 때 배우는 해석학2, 선형대수2, 편미분방정식 밖에 없다. 그러나 전공 트랙을 이론수학으로 선택한 학생에게 기하학및연습은 준 전공필수과목이라 봐도 무방할 정도로, 집합론과 더불어 이 강의는 중요하다. 왜냐하면, 이 강의야말로 이론수학에 있어 "논리적 사고"의 첫걸음 역할을 하는 과목이기 때문이다.

2학년 1학기 때 집합론을 착실히 수강한 학생은 이미 선택공리의 독립성을 알고 있을 것이다. 기하학에서는 평행선 공준이 그 역할을 한다. 머릿속으로 그리기 힘든 무한집합과는 달리, 기하학에서의 각종 도형은 머릿속으로 쉽게 그려지기에, 평행선 공준의 독립성이 더 충격적으로 느껴질 것이다.

다만, 기하학을 수강하면서 느낄 충격은 꼭 평행선 공준 때문만은 아니다. 어쩌면 교재의 2, 3장에서 소개되는, 기하학을 엄밀하게 정의하고자 하는 시도 자체가 더 충격적일 수 있다. 결합 공리군과 순서 공리군, 합동 공리군이 그것이다. 집합론에서 그러했듯이, 모든 증명은 공리들을 기반으로 한다. 공리를 기반으로 하지 않고 증명을 시도하면 순환 논리에 빠지기 마련이다. 즉, 기하학에서 논리적 사고를 단련해야 앞으로 있을 대수학, 위상수학도 잘 들을 수 있다.

이 수업에서 가장 생소할 부분은 단연 책의 6장인 비유클리드 기하학이다. 개인적인 비결로, Poincaré 모델을 예습해 놓으면 비유클리드 기하학의 온갖 기이한 결과들을 머릿속으로 그려볼 수 있을 것이다.